Zinsstrukturkurve Bundesanleihen - nach dem Verfahren von Svensson

Die Zinsstruktur ist definiert als die Beziehung zwischen der Laufzeit und dem Zinssatz von Nullkuponanleihen ohne Kreditausfallrisiko. Eine kontinuierliche Zinsstrukturkurve wäre am Rentenmarkt direkt beobachtbar, wenn es für jede Fristigkeit eine Nullkuponanleihe ohne Kreditausfallrisiko und mit entsprechender Laufzeit gäbe.

Tatsächlich ist nur eine endliche Anzahl von Anleihen und deren Preisinformation zu beobachten. In den Preisen der Kuponanleihen ist die Zinsstruktur nur implizit enthalten. Mit Hilfe eines Bewertungsmodells wird die Zinsstruktur aus den beobachteten Preise geschätzt. Ausgangspunkt der Schätzung ist die Definition der theoretischen Preise der Anleihen. Für jede Anleihe werden die einzelnen Zahlungsströme mit den laufzeitspezifischen geschätzten Zinssätzen abdiskontiert und dann summiert.


Dann wird der beobachtete Preis der Anleihe diesem geschätzten Preis gegenübergestellt:

Unter Verwendung eines nichtlinearen Optimierungsverfahrens werden dann die geschätzten Zinssätze solange variiert, bis die quadrierten Abweichungen zwischen den theoretischen (geschätzten) und den beobachteten Preisen minimiert sind.

Für die Schätzung einer kontinuierlichen Zinsstrukturkurve muß eine Annahme über den funktionalen Zusammenhang zwischen Zinssätzen und der Laufzeit getroffen werden.

Svensson wählt einen Ansatz der diese Beziehung mit sechs Parametern erklärt:

Wobei und eine Interpretation besitzen:

Definitionsgemäß konvergiert die Zinsstrukturkurve asymptotisch gegen den Parameter, der als langfristiger Zinssatz interpretiert werden kann. Geht die Laufzeit gegen Null, so ist der Zinssatz gleich der Parameterkombination + , die als kurzfristiger Zinssatz interpretiert werden kann.

Ziel der Schätzung ist es, jene Parameter zu finden, die die quadrierten Preisabweichungen zwischen den geschätzen und den realen Preisen minimieren.

Für die sechs Parameter wurden folgende Ober- und Untergrenzen gewählt. Die Parameter ,, müssen größer gleich 0,0001 und , , müssen größer gleich -30 sein. Die Obergrenze ist für alle Parameter +30.

Nun folgt eine Erklärung des Vorgehens bei der Schätzung, die in Form von Schritten dargestellt ist:
1. Die Parameter werden auf ihre Startwerte gesetzt. Die Parameter ,, werden auf 0,0001
  und , , werden auf Eins gesetzt.
2. Die theoretischen Zinssätze werden berechnet.
3. Die theoretischen Preise werden mit den theoretischen Zinssätzen aus Schritt 2 berechnet
4. Die Summe der quadrierten Preisabweichungen wird ermittelt.
5. Es wird überprüft, ob das Minimum erreicht und die Schätzung genügend genau ist.
6. Wenn Schritt 5 erfüllt ist, wird die Schätzung beendet, sonst werden durch das nichtlineare
  Optimierungsverfahren neue Parameter geschätzt und es wird bei Schritt 2 fortgefahren.
 
Erläuterung der Variablen
Abweichung zwischen beobachteten Preis und theoretischen Preis der Anleihe i
beobachteter Preis der Anleihe i
Stückzinsen
theoretischer Preis der Anleihe i
Zahlungsstrom in der i-ten Periode
Zinssatz nach der Formel von Svensson (spot rate)
Zeitraum in Jahren zwischen Kassatag und der Zahlung des Zahlungsstromes ai